आँकड़ों को विभिन्न अवधारणाओं के अनुसार अलग-अलग वर्गों में गणना कनरे के लिए Mean Median Mode के रूप में बाँटा जाता है. ये आँकड़ों को तीन अलग-अलग रूपों में विभाजित करते है. दरअसल, ये केन्द्रिय प्रवृति के मान है जो संख्याओं द्वारा परिभाषित होते है. जैसे कक्षा 6 में आंकड़ों को चिन्हित करना, क्लास 7 में आँकड़ों को परिभाषित करना और क्लास 8, 9, एवं 10 में आँकड़ों का हल आदि फार्मूला के माध्यम से किया जाता है.
ठीक वैसे ही, यहाँ माध्य मध्यिका बहुलक का फार्मूला एवं परिभाषा का प्रयोग करेंगे. जो प्रतियोगिता एवं बोर्ड एग्जाम का अभिन्न अंग है.
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माध्य, मध्यिका और बहुलक क्या है?
गणितीय सांख्यिकी में, माध्य, माध्यिका और बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन विशेष माप हैं, जिनका प्रयोग आंकड़ो को मापने के लिए करते है. माध्य आँकड़ों के समूह का एक ऐसा अंकगणितीय औसत है, जो डेटा सेट में संख्याओं को जोड़कर और डेटा सेट की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है.
माध्यिका एक आँकड़ों के समूह की मध्य संख्या होती है. लेकिन यह तभी संभव है जब संख्याओं को आरोही या अवरोही क्रम में सूचीबद्ध किया जाता है. तथा बहुलक आँकड़ों का वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आया होता है. ये तीनों तथ्य एग्जाम के सबसे महत्वपूर्ण बिंदु है. अतः इसे परिभाषा के मदद से समझना अत्यन आवश्यक है.
माध्य | Mean in Hindi
Mean अथवा माध्य आंकड़ों के लगभग बिच अवस्थित रहता है, वह माध्य कहलाता है. अर्थात, दी गई संख्याओं का योग एवं कुल संख्याओं के अनुपात ही माध्य कहलाता है.
इसे मुख्यतः दो विधि द्वारा प्राप्त किया जा सकता है. एक सरल वितरण नियम द्वारा तथा दूसरा आंकड़ों के पुनरावृति नियम द्वारा. लेकिन यदि किसी एक आंकड़ों से माध्य निकालता होता है, तो केवल इस फार्मूला का प्रयोग होता है.
माध्य = आंकड़ों का योग / आंकड़ों की संख्या
अर्थात, माध्य = ∑x / n,
जहाँ;
∑ = जोड़ का संकेत
x = आंकड़ों का संकेत, तथा
n = आंकड़ों की कुल संख्या
मध्यिका | Median in Hindi
आँकड़ों के समूह के मध्य का वह मान जो सम्पूर्ण वितरण को दो बराबर भागों में विभक्त करता हो, उसे मध्यिका कहा जाता है. अर्थात, यदि एक आंकड़ा को उनके मापों के आधार पर क्रमबद्ध किया जाए, यानि आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाए तो लगभग बीच का मान माध्यिका होता है.
जब आंकड़े विषम संख्या हो, तो मध्यिका (M) = {(n+1)/2}वाँ पद
और जब आंकड़ें सम संख्या हो, तो मध्यिका M = [(n/2)वाँ पद + {(n/2)+1}वाँ]/2
जहाँ n = आंकड़ों की कुल संख्या है.
बहुलक | Mode in Hindi
यदि किसी आंकड़ा में चर का वह मान जो सबसे अधिक बार उपस्थित हो, अर्थात, किसी आंकड़ों के समूह में जिस बिंदु की आवृति सबसे अधिक होता है. वह बहुलक कहलाता है.
जैसे:- 2, 5, 7, 5, 9, 5, 8, 11… में 5 की आवृत अधिक है. इसलिए, 5 बहुलक है.
माध्य, मध्यिका एवं बहुलक में सम्बन्ध
समीकरण निकाय को संतुष्ट करने के लिए एक समीकरण को तैयार किया गया. जो माध्य, मध्यिका एवं बहुलक के संबंधों को संतुष्ट करता है. यह नियम लगभग प्रत्येक आंकड़ों के स्थिति में सत्य होता है.
अर्थात, माध्य मध्यिका बहुलक का फार्मूला
माध्य – बहुलक = 3 ( माध्य – माध्यिका )
बहुलक = 3 ( माध्यिका ) – 2 ( माध्य )
इस समीकरण निकाय से माध्य मध्यिका बहुलक का फार्मूला निकाल सकते है.
माध्य मध्यिका बहुलक का उदाहरण
Q. दिए गए आंकड़ों की माध्य, मध्यिका एवं बहुलक निकालें?
2, 5, 7, 5, 9, 5, 8, 11, 4
Solution: आंकड़ा: 2, 5, 7, 5, 9, 5, 8, 11, 4
माध्य = आंकड़ों का योग / आंकड़ों की संख्या
=> (2 + 5 + 7 + 5 + 9 + 5 + 8 + 11 + 4)/ 9 => 54/9
अब मध्यिका निकलने के लिए सबसे पहले इसे आरोही क्रम में सजाते है.
2, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 11
कुल आंकड़ों की संख्या 9 है यानि विषय संख्या है. इसलिए,
मध्यिका = {(n+1)/2}वाँ पद
=> ( 9 + 1 ) / 2 = 5
इस आंकड़ा में 5 सर्वाधिक बार 3 आया है. इसलिए, बहुलक 3 है.
Q. यदि माध्य = 5 और मध्यिका = 7 है, तो बहुलक ज्ञात करे?
हल: दिया है. माध्य = 5 और मध्यिका = 7
हमें पता है, बहुलक = 3 ( माध्यिका ) – 2 ( माध्य )
=> 3 × 7 – 2 × 5 = 21 – 10 = 11
अतः बहुलक = 11
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अक्शर पूछे जाने वाले प्रश्न
समीकरण निकाय के अनुसार माध्य मध्यिका और बहुलक का सूत्र माध्य – बहुलक = 3 ( माध्य – माध्यिका ) होता है. इस फार्मूला से तीनो अलग-अलग निकाल सकते है.
माध्य संख्याओं के समूह में औसत मान होता तथा माध्यिका दी गयी संख्याओं को एक क्रम में व्यवस्थित करने पर बीच वाली संख्या और बहुलक संख्याओं वह मान है जो दी गयी संख्या में सबसे अधिक बार आता है. अतः माध्य माध्यिका बहुलक का सम्बन्ध “{बहुलक = (3 × माध्यिका) – (2 × माध्य)} होगा.
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