रैखिक समीकरण का हल एवं प्रकार | Linear Equation in Hindi

Raikhik Samikarn

रैखिक समीकरण का हल कई प्रकार से ज्ञात किया जाता है. इसे हल करने की प्रक्रिया हमेशा अलग-अलग होती है और कई बार इसके प्रक्रिया पर आधारित प्रश्न एग्जाम में भी दिए जाते है. क्लास दसवी की विद्यार्थी उलझन में रहते है की इस बार 10वी की एग्जाम में किस प्रक्रिया यानि किस Raikhik Samikarn के प्रकार पर प्रश्न रहेगा.

विद्यार्थियों के उलझन दूर करने के लिए क्लास दवसी रैखिक समीकरण के सभी प्रकार एवं उसके हल यहाँ प्रस्तुत किया गया है जिससे वो असानी से समझ एवं हल कर सके. रैखिक समीकरण फार्मूला पर आधारित सभी महत्वपूर्ण बिन्दुओं पर विशेष तथ्य प्रदान किया गया है जो आपके ज्ञान में वृद्धि करने का एक माध्यम बनेगा.

चर राशि (Variable):-

वैसी राशि, जिसका मान स्थिर नही होता है, वह चर राशि कहलाती है.

जैसे:- x, y, z …a, b, c, आदि.

अचर राशि (Constant):-

अचर राशि मुख्यतः दो प्रकार के होते है जो इस प्रकार है.

1. स्वेच्छ अचर

A, B, C …a, b, c, आदि को स्वेच्छ कहा जाता है.

2. निरपेक्ष अचर

1, 2, 3, ….. आदि को निरपेक्ष अचर कहा जाता है.

रैखिक समीकरण (Linear Equation in Hindi)

चर की समान अज्ञात राशि वाले समीकरणों के समुच्चय को रैखिक समीकरण कहा जाता है. इसकी व्याख्या प्रक्रिया लगभग हमेशा बराबर होती है.

रैखिक समीकर मुख्यतः दो प्रकार के होते है.

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1. एक चर वाला रैखिक समीकरण (Linear Equations of One Variables):-

वैसा समीकरण, जिसमे चरो की संख्या एक होती है, वह एक चर वाले रैखिक समीकरण (Raikhik Samikarn) कहलाते है.

जैसे:- ax + b = 0 जहाँ a ≠ 0 और a, b, c अचर तथा x चर है.

Note:-
एक सरल रेखा पर ax + b = 0 का आलेख एक ही बिंदु पर होता है, यानी बिदु आरेख होता है, इसलिए इसका एक अद्वितीय हल x = – b / a होता है.

समीकरण को हल करने की विधि:-

  1. किसी समीकरण के दोनों पक्षों में समान राशि जोड़ने पर उनके योगफल भी सामान होते है.
  2. किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों से समान राशि घटाने पर शेषफल सामान होते है अर्थात, यदि a = b हो, तो a – c = b – c
  3. रैखिक समीकरण के दोनों पक्षों को शून्योतर समान राशि से भाग देने पर भागफल भी सामान होते है, अर्थात, a = b हो, तो a / c = b / c
  4. किसी समीकरण के दोनों पक्षों को शून्योतर समान राशि से गुणा करने पर गुणनफल समान होते है.

पक्षान्तर (Transposition)

समीकरण के किसी पद को एक पक्ष से दुसरें पक्ष में ले जाने की क्रिया को पक्षान्तर कहते है. जब किसी पद को एक पक्ष से दुसरें पक्ष में लाया जाता है, तो, उसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात धन (+) बदल जाता है ऋण (-) में और ऋण बदल जाता है धन में.

2. दो चार वाले रैखिक समीकरण ( Linear Equations in Tow Variables) :-

किसी समीकरण में उपस्थित दो चर, दो चर वाले रैखिक समीकरण कहलाते है. जैसे:

ax + by + c = 0 जहाँ a ≠ 0, b ≠ 0
a, b, c अचर तथा x, y चर है.

रैखिक समीकरण के महत्वपूर्ण तथ्य

  1. Raikhik Samikarn का लेखाचित्र हमेशा एक सरल रेखा में होती है.
  2. x = c जहाँ c = अचर है, का आलेख y-अक्ष के समान्तर एक सरल रेखा होती है.
  3. y = c जहाँ c = अचर है, का आलेख x-अक्ष के समान्तर एक सरल रेखा होती है.
  4. x = 0 का आलेख y-अक्ष है.
  5. y = 0 का आलेख x-अक्ष है.

रैखिक समीकरण का हल (Solution of Linear Equation)

दो चर वाले रैखिक समीकरण में अज्ञात चर ( x, y ) को हल करने की प्रमुख 5 विधियाँ है जो इस प्रकार है.

  1. विलोपन विधि (Elimination Method)
  2. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
  3. बज्रगुणनखंड विधि (Cross Multiplication Method)
  4. ग्राफ़िक या आलेखी विधि (Graphical Method)
  5. तुलनात्मक विधि (Comparison Method)

रैखिक समीकरण के हल करने की प्रत्येक विधि को एक-एक कर हल करते है और इसके प्रक्रिया को समझने की प्रयास करते है. हालांकि दिए हुए प्रक्रिया 10वी के एग्जाम में भी पूछता है, इसलिए इसकी प्रक्रिया समझना अत्यंत आवश्यक है.

1. विलोपन विधि (Elimination Method)

कार्यकारी नियम:-

  • दिए गए दोनों समीकरण में किसी एक चर के गुणांकों को सामान किया जाता है.
  • समान गुणांकों के चिन्ह विपरीत हो, तो जोड़कर या घटाकर उसको विलोपित किया जाता है.
  • ऐसा करने से एक चर का मान प्राप्त होता है. उसे किसी भी समीकरण में रखकर दुसरे चर का मान निकल लिया जाता है. जैसे:-
Vilopan Vidhi hal

2. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

  • दिए गए समीकरण से x का मान y के पद में या y का मान x के पद में निकला जाता है.
  • समीकरण से निकले एक चर का मान दुसरे समीकरण में रखकर हल किया जाता है, जिससे एक चर का मान ज्ञात हो जाता है.
  • ज्ञात चर का मान पहले स्टेप से निकले सम्बन्ध में रखकर दुसरे चर का मान निकाला लिया जाता है.
Pratisthapan Vidhi hal

3. बज्रगुणनखंड विधि (Cross Multiplication Method)

बज्र गुणनखंड विधि हल

4. ग्राफ़िक या आलेखी विधि (Graphical Method)

Graphic Method hal

5. तुलनात्मक विधि (Comparison Method)

कार्यकारी नियम

  • दिए गए समीकरण से x का मान y के पद में या y का मान x के पद निकाला जाता है.
  • पहले समीकरण से जिस चर का मान निकाला जाता है, दुसरे समीकरण से उसी चर का मान निकाला जाता है.
  • दोनों से प्राप्त परिमाण को बराबर क्र हल कर दिया जाता है, जिससे किसी एक चर का मान प्राप्त होता है.
  • प्राप्त मान को किसी एक समीकरण में रखकर हल कर लेते है, तो दुसरे का भी मान प्राप्त हो जाता है. जैसे;
तुलनात्मक विधि समीकरण

निष्कर्ष

क्लास दस के लिए रैखिक समीकरण एक महत्वपूर्ण चैप्टर है जिससे एग्जाम में ऑब्जेक्टिव और सब्जेक्टिव दोनों प्रकार के प्रश्न पूछे जाते है. खासकर रैखिक समीकरण फार्मूला पर आधारित ऑब्जेक्टिव प्रश्न भी होते है, जो एग्जाम में टॉप करने के लिए कारगर होता है.

सभी आवश्यक बिन्दुयों पर विचार कर यह रैखिक समीकरण फार्मूला यानि समीकरण का हल तैयार किया गया है. उम्मीद करता हूँ आपको पसंद आएगा.


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