अवकलन फार्मूला और परिभाषा | Avkalan Formula

क्लास 12th मैथ्स में ज्यादातर प्रश्न फार्मूला पर ही आधारित होते है. खासकर कैलकुलस में लगभग प्रत्येक टॉपिक के फार्मूला शामिल होते है जैसे, बीजगणित, त्रिकोणमिति, log, बहुपद आदि. 12th में सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक कैलकुलस है जिसका महत्वपूर्ण भाग अवकलन है. यदि यह टॉपिक यानि avkalan formula का ज्ञान बेहतर हो, तो मैथ्स विल्कुल सरल हो जाता है.

अवकलन सूत्र के लगभग सभी भाग यहाँ उपलब्ध है जो किसी संख्या, बहुपद, लघुगुणक, त्रिकोणमितिय फलन आदि को व्यक्त करने में सहायता करता है. अवकलन क्लास 11th और 12th में प्रयोग किए जाने वाला सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है जिससे कभी कभी कम्पटीशन एग्जाम में भी प्रश्न पूछे जाते है.

अवकलन की परिभाषा

अवकल गणितीय कैलकुलस का वह भाग है जिसमें परिवर्तन की दर का अध्ययन किया जाता है. यह कैलकुलस का दूसरा भाग है जो इंटीग्रेशन के लगभग विपरीत होता है.

दुसरें शब्दों में,

किसी चर राशि के किसी अन्य चर राशि के सम्बन्ध में तात्कालिक बदलाव की दर की गणना को अवकलन  कहते हैं तथा इस क्रिया द्वारा प्राप्त दर को अवकलज कहते हैं.

विकिपीडिया के अनुसार

अवकलन को सामायतः dy / dx या y’ या फिर D_x y से सूचित किया जाता है.

अवश्य पढ़े,

अवकलन फार्मूला का लिस्ट

Differentiation के लगभग सभी फार्मूला यहाँ नियमबद्ध तरीके से उपलब्ध है जिसे स्मरण कर आप मैथ्स में बेहतर स्थान स्थापित कर सकते है. फार्मूला हमेशा से ही मैथ का महत्वपूर्ण भाग रहा है जो भविष्य में कायम रहेगा. इसलिए, अवकलन फार्मूला स्मरण रखे.

बीजगणितीय अवकलन फार्मूला

1. (d/dx) (xⁿ ) = nx^n-1

2. (d/dx) (a) = 0, जहाँ a अचार (Constant) है.

3. (d/dx) (u . v) = u (d/dx) (v) + v (d/dx) (u), गुणन का अवकलन

4. (d/dx) (u ± v) = (d/dx) (u) ± (d/dx) (v), योगफल और घटाव का अवकलन

5. (d/dx) (u/v) = [ u (d/dx) (v) + v (d/dx) (u) ] / v²

त्रिकोणमितिय अनुपात का अवकलन फार्मूला

1. (d/dx) (sin x) = cos x

2. (d/dx) (cos x) = – sin x

3. (d/dx) (tan x) = sec²x

4. (d/dx) (cot x) = − cosec²x

5. (d/dx) (sec x ) = sec x tan x

6. (d/dx) (cosec x) = − cosec x cot x

Inverse त्रिकोणमितिय अवकलन फार्मूला

1. (d/dx) (sin^-1x) = 1 / (1–√x²)

2. (d/dx) (cos^-1x) = − 1 / (1–√x²)

3. (d/dx) (cot^-1 x) = −1 / (1–√x²)

4. (d/dx) (tan^-1 x) = 1 / (1–√x²)

5. (d/dx) (cosec^-1 x) = 1 / |x| √(x² + 1)

6. (d/dx) (sec^-1 x) = − 1 / |x| √(x² + 1)

अवश्य पढ़े, Inverse त्रिकोणमिति के सभी फार्मूला

लघुगुणक एवं स्पेशल अवकलन फार्मूला

1. (d/dx) (a^x ) = a^x log a

2. (d/dx) (e^x ) = e^x

3. (d/dx) (log_a x) = 1 / (loga) x

4. (d/dx) (log x) = 1/x

अवकलन में प्रयोग होने वाले महत्वपूर्ण फार्मूला

1. Sin(A-B) = Sin A . Cos B − Cos A . Sin B
2. Cos (A+B) = Cos A . Cos B − Sin A . Sin B
3. Sin θ = 2 Sin ( θ/2 ) . Cos ( θ/2 )
4. Cos θ = cos²( θ/2 ) – sin²( θ/2 ) Or 1–2sin²( θ )
5. sin( 2θ ) = 2sin( θ ) • cos( θ ) = [ 2tan θ / (1+tan² θ )]
6. cos( 2θ ) = cos²( θ ) – sin²( θ ) = [ (1- tan²  θ ) / ( 1+tan² θ )]
7. cos( 2θ ) = 2cos²( θ )−1 = 1–2sin²( θ )
8. tan( 2θ ) = [ 2tan( θ )] / [1−tan²( θ )]
9. Sin 3θ = 3sin θ – 4sin³ θ
10. Cos 3θ = 4cos³ θ – 3cos θ
11. Tan 3θ = [3tan θ – tan³ θ ] / [ 1 – 3tan² θ ]
12. 2sin A . sin B = cos(A – B) + cos(A + B)
13. 2cos A . sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

महत्वपूर्ण तथ्य

एक राशी y के परिवर्तन की दर दूसरी राशी x के सापेक्ष, y का x के सापेक्ष अवकलज या अवकलन गुणांक कहलता है. साधारणतः y = F(x) कोई फलन हो, तो उसका अवकलन x के सापेक्ष इस प्रकार ज्ञात किया जाता है. (dy/dx) = F'(x), जहाँ F’ अवकलन का संकेत है. यहाँ उपलब्ध लगभग सभी avkalan formula अवकलन में प्रयोग होता है. अतः अवकलन की बेहतर जानकारी के लिए इन्हें स्मरण रखे.