मैट्रिक्स फार्मूला, परिभाषा एवं महत्वपूर्ण तथ्य | Matrix Formula in Hindi

आव्यूह का प्रयोग गणित के विभिन्न शाखाओं में किया जाता है, हालांकि, मैट्रिक्स पंक्तियों और स्तंभों के संख्याओं को व्यवस्थित करने का एक बेहतर तरीका है. Matrix Formula का उपयोग रैखिक समीकरणों और कैलकुलस, ऑप्टिक्स, क्वांटम यांत्रिकी और अन्य गणितीय कार्यों को हल करने के लिए होता है.

गणितज्ञों के अनुसार, आव्यूह, गणित के विभिन्न साधनों में से सर्वाधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी है. क्योंकि, यदि दो मैट्रिक्स पंक्तियों और स्तंभों के समान आकार के हैं, तो उन्हें तत्व द्वारा जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है.

यह क्लास 12th का सबसे सरल एवं सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है क्योंकि इसका प्रयोग लगभग सभी टॉपिक में होता है. इसीलिए, मैट्रिक्स फार्मूला का अध्ययन क्लास 12 में अधिक होता है. तथ्यों को ध्यान में रखते हुए, यहाँ सभी आवश्यक फार्मूला एवं गुण उपलब्ध कराया गया है जो क्लास 12 वी में बेहतर प्रदर्शन करने में मदद करते है.

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आव्यूह की परिभाषा | Matrix Definition in Hindi

आव्यूह वास्तविक या समिश्र संख्याओं या फलनों का क्षैतिज या उदग्र रेखाओं में एक आयताकार क्रम विन्यास है. क्षैतिज रेखाएं आव्यूह की पंत्तिया तथा उदग्र स्तम्भ कहलाते है.

मैट्रिक्स को अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों A, B, C, …. आदि द्वारा सूचित किया जाता है.

Note:-

Matrix in Hindi
  • आव्यूह संख्याओं का सिर्फ आयताकार क्रम विन्यास है इसका सारणिक की तरह कोई मान नही होता है.
  • मैट्रिक्स संख्याओं का आयताकार क्रम विन्यास है और इसे सिर्फ अच्छा लगने के लिए छोटे या बड़े कोष्ठक के अन्दर लिखा जाता है.
  • आव्यूह की कोटि: यदि किसी आव्यूह में m पंक्तियाँ तथा n स्तम्भ हो, तो यह [aij]m x n कोटि का आव्यूह या  m × n आव्यूह कहलाता है.  

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आव्यूह के प्रकार | Types of Matrix in Hindi

मैट्रिक्स के प्रयोग के अनुसार इसे विभिन्न भागों में विभाजित किया गया है जो इसे अलग-अलग रूपों में परिभाषित करता है. आव्यूह के प्रकार का अध्ययन इस समय बहुत आवश्यक है. क्योंकि एग्जाम में ऑब्जेक्टिव प्रश्न Matrix Formula से अधिक होते है.

1. वर्ग आव्यूह ( Square Matrix):

एक आव्यूह जिसके पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या बराबर हो, वह वर्ग आव्यूह कहलाता है. यदि मैट्रिक्स में n पंक्ति और n स्तम्भ हो, तो वह n × n कोटि का वर्ग मैट्रिक्स कहलाता है. ऐसा वर्ग मैट्रिक्स, कोटि n वाला वर्ग मैट्रिक्स भी कहलाता है.

2. क्षैतिज आव्यूह ( Horizontal Matrix ):

m × n कोटि का एक मैट्रिक्स क्षैतिज मैट्रिक्स कहलाता है यदि m < n हो. अर्थात, पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या से कम हो.

3. उदग्र आव्यूह ( Vertical Matrix ):

सामान्यतः m × n कोटि वाला एक मैट्रिक्स उदग्र आव्यूह कहलाता है. यदि m > n हो. अर्थात, यदि पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या से अधिक हो.

4. पंक्ति आव्यूह ( Row Matrix ):

एक वाला आव्यूह पंक्ति आव्यूह कहलाता है. जैसे A = [ 1 2 3 ], यहाँ A पंक्ति आव्यूह है.

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5. स्तम्भ आव्यूह ( Column Matrix ):

एक स्तम्भ वाला आव्यूह स्तम्भ आव्यूह कहलाता है.

6. शून्य आव्यूह ( Zero Matrix ):

एक आव्यूह जिसका प्रत्येक अवयव शून्य हो, शून्य आव्यूह कहलाता है. शून्य आव्यूह को O द्वारा सूचित किया जाता है.

7. आव्यूह के विकर्ण ( Diagonal of Matrix ):

अवयव a11,  a22, a33 ….. ann विकर्ण अवयव कहलाते है तथा जिस रेखा के अनुदिश ये अवयव स्थिर होते है वह मुख्य विकर्ण या प्रधान विकर्ण कहलाता है.

8. अदिश आव्यूह ( Scalar Matrix ):

एक वर्ग आव्यूह अदिश आव्यूह कहलाता है यदि इसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव समान हो, तथा मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य हो.

aij = 0, जहाँ i ≠ j और aij = k, जहाँ i = j

9. इकाई आव्यूह या तत्समक आव्यूह ( Identity Matrix ):

एक वर्ग आव्यूह इकाई आव्यूह कहलाता है यदि इसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव इकाई आव्यूह हो, तथा मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य हो.

aij = 0, जहाँi = j और aij = 1, जहाँ i ≠ j

10. तुलनीय आव्यूह ( Comparable Matrix ):

दो आव्यूह A तथा B तुलनीय आव्यूह कहलाते है यदि उनके पंक्तियों की संख्या समान हो, तथा स्तम्भों की संख्या भी समान हो. अर्थात, इनकी कोटि समान हो.

आव्यूह का योग ( Addition of Matrix )

माना कि A और B दो समान कोटि m × n के आव्यूह है. m × n कोटि का एक आव्यूह A और B का योगफल कहलाता है जिसके अवयव A और B के सांगत अवयवों का जोड़ने पर प्राप्त होता है. सामान्यतः A और B के योगफल को A + B द्वारा सूचित किया जाता है.

जहाँ, A = [aij] तथा B = [bij]

अतः A + B = [aij + bij]m x n

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Note:-
इसी प्रक्रिया द्वारा आव्यूह का घटाव भी ज्ञात किया जाता है.

आव्यूह का गुणन ( Multiplication of a Matrix )

माना कि A, m × n कोटि का कोई एक आव्यूह है तथा k एक अदिश संख्या है. आव्यूह A के अनुदिश k से गुना करने पर प्राप्त आव्यूह को kA से व्यक्त किया जाता है. जहाँ kA, A के प्रत्येक अवयव को k के अनुदिश गुना करने पर प्राप्त होता है.

यदि A = [aij]m x n तथा B = [bij]m x n हो, तो kA = [kaij]m x n तथा kB = [kbij]m x n, अर्थात,

  • k(A + B) = kA + kB
  • (a + b) A = aA + bA

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आव्यूह का परिवर्त | Transpose of a Matrix in Hindi

किसी आव्यूह A के पंक्तियों एवं स्तम्भों को परस्पर बदलने पर प्राप्त आव्यूह A का परिवर्त कहलाता है. तथा इसे A’ या AT से सूचित किया जाता है. यदि A, m × n का कोई आव्यूह है, तो A’ एक n × m आव्यूह होगा.

यदि A = [aij]m x n हो, तो A’ = [aij]n x m अर्थात,

A के i वे पंक्ति और j के स्तम्भ का अवयव = A’ के j वे पंक्ति तथा i वें स्तम्भ का अवयव.

आव्यूहों के परिवर्त के गुणधर्म

  • (A’)’ = A
  • (A + B)’ = A’ + B’
  • (AB)’ = B’A’
  • (ABC)’ = C’ B’ A’
  • (A)’ = A’

परिवर्त के प्रकार | Types of Transpose in Hindi

आव्यूह के परिवर्त को मुख्यतः तीन वर्गों में विभाजित किया गया है. इससे प्रत्येक वर्ष ऑब्जेक्टिव प्रश्न पूछा जाता है. अतः इसे स्मरण रखे ताकि भविष्य में यह आपकी मदद करे.

  1. सममित आव्यूह
  2. विषम सममित आव्यूह
  3. लम्ब आव्यूह
सममित आव्यूह ( Symmetric Matrix)

एक वर्ग आव्यूह A = [aij]m x n सममित आव्यूह कहलाता है यदि aij = aji, i और j के सभी अवयव मानों के लिए बराबर हो.

Note:-
एक वर्ग आव्यूह सममित आव्यूह होता है यदि और केवल यदि A’ = A.

विषम सममित आव्यूह (Skew Symmetric Matrix)

एक वर्ग आव्यूह A = [aij]m x n विषम सममित आव्यूह कहलाता है यदि aij = aji हो. जहाँ i और j के सभी संभव मानों के ली सत्य हो.

Note:-
सामान्यतः एक वर्ग आव्यूह A विषम सममित आव्यूह होता है, यदि और केवल यदि A’ = A.

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लम्ब आव्यूह ( Orthogonal Matrix )

एक वर्ग आव्यूह A लम्ब आव्यूह कहलाता है यदि A’ A = I हो. जहाँ A’ , A का परिवर्त है.

वर्ग आव्यूह का सहखण्डज | Adjoint of a Square Matrix in Hindi

माना कि A = [aij] तथा B = [Aij] एक वर्ग आव्यूह है. जहाँ [Aij] का अवयव [aij] का सहखण्ड है. आव्यूह B का परिवर्त B’, आव्यूह A का सहखण्ड कहलाता है तथा इसे Adjoint A या Adj A से सूचित करते है.

अव्युत्क्रमणीय तथा व्युत्क्रमणीय आव्यूह:

एक वर्ग आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि |A| = 0. एक वर्ग आव्यूह A व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि |A| ≠ 0 हो.

वर्ग आव्यूह का प्रतिलोम | Inverse of a Square Matrix in Hindi

माना कि A, n कोटि का एक वर्ग आव्यूह है, तो एक आव्यूह B यदि इसका अस्तित्व है, आव्यूह A का प्रतिलोम या व्युत्क्रम कहलाता है यदि AB = BA = I हो.

इनवर्स मैट्रिक्स को A-1 द्वारा सूचित किया जाता है.

प्रतिलोम का अस्तित्व:

एक वर्ग आव्यूह A के प्रतिलोम का अस्तित्व होता है यदि और केवल यदि A एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है.

प्रतिलोम आव्यूह का फार्मूला | Inverse Matrix Formula in Hindi

Inverse Matrix Formula in Hindi

किसी वर्ग आव्यूह A का प्रतिलोम यानि A-1 निकलने के लिए सर्वप्रथम |A| निकला जाता है. यदि |A| ≠ 0 तो A-1 का अस्तित्व होगा.

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