प्रतिलोम त्रिकोणमिति फार्मूला एवं गुणधर्म

त्रिकोणमिति ज्यामिति का एक ऐसा भाग है, जहां कोण एवं समकोण त्रिभुज के भुजाओं के बीच संबंधों के विषय में अध्ययन किया जाता है. यहाँ कुछ Inverse Trigonometry Formula का फ़ंक्शन का गुणधर्म हैं जो न केवल प्रशों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं, बल्कि इस अवधारणा की गहरी समझ रखने के लिए भी महत्वपूर्ण है.

इनवर्स त्रिकोंमिति फार्मूला का प्रयोग क्लास 12 में सर्वाधिक होता है, क्योंकि यह 12th का सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है. यह समकाल एवं अवकलन में भी प्रयोग होता है. इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोंमिति फार्मूला क्लास 12th का एक आधार माना जाता है. अतः इसकी तैयारी एग्जाम में सबसे महत्वपूर्ण है.

मुख्य रूप से, व्युत्क्रम / प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को sin^-1x, cos^-1x, cot^-1 x, tan^-1 x, cosec^-1 x, sec^-1 x आदि के रूप में व्यक्त किया जाता है. स्मरण करने के लिए इसे “Arc Function” भी कहा जाता है. क्योंकि, यह विशेष मूल्य को प्राप्त करने के लिए आवश्यक चाप की लंबाई का उत्पादन करते है.

प्रतिलोम त्रिकोंमिति क्या है?

गणित ज्यामिति में, व्युत्क्रम त्रिकोणमि फंक्शन के व्युत्क्रम फलन हैं, जिसका प्रयोग विशेष रूप से, sine, cosine, tangent, cotangent, secant, और cosecant फलनों के व्युत्क्रम में प्रयोग होता हैं. हालांकि, किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात से कोण प्राप्त करने के लिए इनवर्स त्रिकोंमिति का प्रयोग होता है.

अवश्य पढ़े, त्रिकोंमिति का परिचय

sin^-1x एक संकेत है जिसे Sine Inverse पढ़ा जाता है. sin^-1x वह कोण है जिसका ज्या x है. परिभाषा के अनुसार sin^-1x एक सम्बन्ध फलन नही है. क्योंकि x के किसी दिए हुए मान के लिए sin^-1x के अनगिनत मान होते है.

Note:-

• sin^-1x का अर्थ sin^-1x का मुख्य मान लिया जाता है.
• सामान्यतः sin^-1x को Arc sin x से भी सूचित किया जाता है.
• sin^-1x के मुख्यमान शाखा को Arc sin x से सूचित किया जाता है.
• नियम के अनुसार, sin^-1x का अर्थ (sin x)^-1 अर्थात 1/ sin x नही होता है.

Inverse Trigonometry का प्रांत और परिसर

प्रतिलोम त्रिकोणमिति फलन फार्मूला

यहाँ प्रतिलोम त्रिकोंमिति से सम्बंधित सभी गुणधर्म या फार्मूला दिया गया है जो क्लास 12th के सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है. यह फार्मूला एग्जाम में जल्दी एवं सटीक प्रश्न हल कनरे में सहायता करते है.

अवश्य पढ़े,

इनवर्स त्रिकोंमिति फार्मूला Property 1.

• sin (sin⁻¹ x) = x, यदि -1 ≤ x ≤ 1 हो.
• cos (cos⁻¹ x) = x, यदि -1 ≤ x ≤ 1
• tan (tan⁻¹ x) = x, यदि -∞ ≤ x ≤∞
• cot (cot⁻¹ x) = x, if – ∞ ≤ x ≤ ∞
• sec (sec⁻¹ x) = x, यदि – ∞ ≤ x ≤ -1 और 1 ≤ x ≤ ∞
• cosec (cosec⁻¹ x) = x, यदि -∞ ≤ x ≤ -1 और 1 ≤ x ≤ ∞

प्रतिलोम त्रिकोंमितीय फार्मूला Property 2.

• sin⁻¹ (sin x) = x, यदि -π/2 ≤ x ≤ π/2
• cos⁻¹ (cos x) =x, यदि 0 ≤ x ≤ π
• tan⁻¹ (tan x) = x, यदि -π/2 < x < π/2
• cot⁻¹ (cot x) = x यदि 0< x < π
• sec⁻¹ (sec x) = x, यदि 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2
• cosec⁻¹ (cosec x) = x यदि -π/2 ≤ x ≤ π/2, x ≠ 0

Inverse Trigonometry Property 3.

• Sin⁻¹ (x) = cosec⁻¹(1/x), यदि x∈ [−1, 1]−{0}
• Cos⁻¹ (x) = sec⁻¹(1/x), यदि x ∈ [−1, 1]−{0}
• Tan⁻¹ (x) = cot⁻¹(1/x), यदि x > 0 और  cot⁻¹(1/x) −π, यदि x < 0
• Cot⁻¹ (x) = tan⁻¹(1/x), यदि x > 0 और tan⁻¹(1/x) + π, यदि x < 0

Property 4.

• Sin⁻¹(−x) = −Sin⁻¹(x)
• Tan⁻¹(−x) = −Tan⁻¹(x)
• Cos⁻¹(−x) = π − Cos⁻¹(x)
• Cosec⁻¹(−x) = − Cosec⁻¹(x)
• Sec⁻¹(−x) = π − Sec⁻¹(x)
• Cot⁻¹(−x) = π − Cot⁻¹(x)

Property 5

• Sin⁻¹x + Cos⁻¹x = π/2
• Tan⁻¹x + Cot⁻¹(x) = π/2
• Sec⁻¹x + Cosec⁻¹x = π/2

Property 6.

• Tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹[(x+y)/ (1−xy)]
• tan⁻¹(x) – tan⁻¹(y) = tan⁻¹[(x−y)/ (1+xy)]
• 2tan⁻¹(x) = tan⁻¹[(2x)/ (1–x²)]

Property 7

• sin⁻¹ x + sin⁻¹ y = sin⁻¹[ x√(1−y²) + y√(1−x²)]
• sin⁻¹ x) − sin⁻¹ y = sin⁻¹[ x√(1−y²) – y√(1−x²)]
• cos⁻¹ x + cos⁻¹ y = cos⁻¹[ xy−√(1−x²)√(1−y²)]
• cos⁻¹ x − cos⁻¹ y = cos⁻¹[ xy + √(1−x²)√(1−y²)]

Property 8.

• Sin⁻¹(cos θ) = π/2 − θ, यदि θ ∈[0,π]
• Cos⁻¹(sin θ) = π/2 − θ, यदि θ ∈[−π/2, π/2]
• Tan⁻¹(cot θ) = π/2 − θ, यदि θ ∈[0,π]
• Cot⁻¹(tan θ) = π/2 − θ, यदि θ ∈[−π/2, π/2]
• Sec⁻¹(cosec θ) = π/2 − θ, यदि θ ∈[−π/2, 0]∪[0, π/2]
• Cosec⁻¹(sec θ) = π/2 − θ, यदि θ ∈ [0,π]−{π/2}
• Sin⁻¹(x) = cos⁻¹[√(1−x²)], जहाँ 0≤x≤1

Property 9.

• 2 tan^-1 x = sin^-1(2x/(1+x²)), जहाँ |x| ≤ 1
• 2tan^-1 x = cos^-1((1-x²)/(1+x²)), x ≥ 0
• 2tan^-1 x = tan^-1(2x/(1-x²)), -1<x<1
• 2sin⁻¹ x = sin⁻¹ (2x √(1−x²)
• 2cos⁻¹ x = cos^-1 (2x² − 1)

अवश्य पढ़े, मापन की इकाइयाँ

Property 10.

• 3sin^-1x = sin^-1(3x − 4x³)
• 3cos^-1x = cos^-1(4x³ − 3x)
• 3tan^-1x = tan^-1((3x − x³)/(1 − 3x²))

प्रतिलोम त्रिकोणमिति फलन के सूत्र के महत्वपूर्ण तथ्य

प्रतिलोम त्रिकोंमिति फार्मूला क्लास 12th मैथ्स के अधिकतर प्रशों को हल करने में मदद करता है. इस फार्मूला का प्रयोग समाकलन, अवकलन, वेक्टर आदि जैसे टॉपिक में किया जाता है. क्योंकि यह कोण एवं भुँजाओं से सम्बंधित सम्बन्ध को ज्ञात करने में सहायता करता है. शिक्षकों के दिशानिर्देश में तैयार यह फार्मूला क्लास 12वी और कम्पटीशन के लिए उपयोगी है.

पूछे जाने वाला सामन्य प्रश्न FAQs