गोला एवं अर्द्ध गोला का फार्मूला – Gola ka Formula

गणितीय ज्यामिती में, गोला समतल पर बनी एक ऐसी आकृति है, जिसमें सभी बिन्दुओं का समूह त्रि-आयामी क्षेत्र में किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थिर होता है. अर्थात यूँ कहा जा सकता है कि गोला एक वृत्त के व्यास के चारों ओर घुमाने का परिणाम है. इसके सभी तथ्यों का अध्ययन Gola ka Formula के माध्यम से किया जाता है.

अर्द्ध गोला भी पूर्ण गोला का एक भाग है अर्थात, गोला को दो बराबर भागों में विभक्त करने पर प्राप्त होता है. स्टेट बोर्ड एग्जाम, रेलवे, एसएससी, UPSC आदि जैसे परीक्षाओं में इससे प्रश्न प्रत्येक वर्ष पूछे जाते है. इसलिए, आवश्यक है कि इसके बारे में पूर्ण जानकरी हो.

ताकि बोर्ड और कम्पटीशन एग्जाम में बेहतर मार्क्स प्राप्त हो सके. गोला एवं अर्द्ध गोला से सम्बंधित सभी फार्मूला यहाँ उपलब्ध है जो आपकी सहायता प्रश्न हल करने में कर सकता है.

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गोला की परिभाषा

वह गोलीय ठोस, जिसमे केवल एक तल और तीन आयाम  हो, अर्थात गोला एक त्रिविमीय ठोस आकृति है आकाश में स्थिर उन सभी बिन्दुओं से मिल कर बना है जो एक निश्चित बिंदु से एक अचर या निश्चित दुरी पर होते है. वह गोला कहलाता है.

इसमें स्थिर वह निश्चित बिंदु केंद्र तथा केंद्र से गोले किसी बिन्दु की दूरी त्रिज्या कहलाता है.

दुसरें शब्दों में, गोला एक ठोस आकृति है जो एक वृताकार परत को इसके किसी भी व्यास के अनुदिश घुमाने से प्राप्त होता है, वह गोला कहलाता है.

केंद्र:- जिस निश्चित बिंदु से एक त्रि-आयामी गोले का निर्माण किया जाता है, उसे गोले का केंद्र कहते है.

त्रिज्या: किसी गोले की केंद्र से उसकी सतह तक खिची गई रेखाखंड की लम्बाई को गोले की त्रिज्या कहते हैं.

कक्षा 9 तथा कक्षा 10 में गोला फार्मूला से सम्बंधित प्रश्न एग्जाम में अक्शर पूछे जाते है और ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए गोला एवं अर्धगोला का सभी फार्मूला ज्ञात होना आवश्यक जैसा निचे दिया गया है.

सभी गोले का फार्मूला

गोले का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 4πr²

Gola ka prestige chetrafal में π का मान 22/7 या 3.14 रखा जा सकता है, जहाँ r गोला का त्रिज्या है.

गोला का आयतन = 4/3 πr³

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गोलीय शेल का आयतन = 4/3 π ( R³ – r³ )

गोलीय शेल के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 4/3 π ( R² – r² )

घन ने सबसे बड़े गोले का आयतन = 1/6 a³

प्रत्येक घन में सबसे बड़े गोले की त्रिज्या = a/2

घन में सबसे बड़े गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल = πa²

गोले में सबसे बड़े घन की एक भुजा = 2R / √3

गोला में सबसे बड़े घन का आयतन = 8√3/a × R³

जहाँ a घन की भुजा तथा r गोले की त्रिज्या है.

गोला में सबसे बड़े घन का पृष्ठ क्षेत्रफल = 8R²

खोखले गोले का आयतन का सूत्र = 4/3 π(R³ – r³ )

आंतरिक त्रिज्या (r) तथा बाह्य त्रिज्या R है.

खोखले गोले का आयतन का सूत्र = (1/6) π (D³ – d³)

आतंरिक तथा बाह्य व्यास का माप क्रमशः d तथा D है

प्रश्न हल करने के लिए खोखले गोले का आयतन फार्मूला दो प्रकार से प्रयोग किया जा सकता है.

अर्द्ध गोला का परिभाषा

ज्यामिति में, अर्द्ध गोला एक ऐसी त्रिआयामी ठोस आकृति है जिसे व्यास के अनुदिश दो बराबर भागो में बाँटने पर प्राप्त, प्रत्येक भाग अर्द्ध गोला कहलाता है.

दुसरें शब्दों में, एक ठोस गोले को बीचों-बिच इसके केंद्र से जाते हुए एक तल के द्वारा दो समान भागों में काटें, तो यह दो भागों में बंट जाता है. प्रत्येक आधे भाग को अर्द्ध गोला कहते है.

स्मरण रखे,
किसी भी अर्द्ध गोला में दो वृताकार समतल फलक और दो वक्रीय फलक होते है.

अर्द्ध का फार्मूला | Ardh Gola ka Formula

मुख्य रूप से अर्द्ध गोला का क्षेत्रफल एवं आयतन निकालने के लिए निम्न फार्मूला का प्रयोग किया जाता है.

अर्द्ध गोला के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 πr²

किसी अर्द्ध गोला के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 3 πr²

अर्द्ध गोला का आयतन = 2/3 πr³

गोला एवं अर्द्ध गोला से सम्बंधित फार्मूला

1. किसी गोले की त्रिज्या m गुनी करने पर

• क्षेत्रफल m² तथा
• आयतन m³ गुनी हो जाती है

2. गोला की त्रिज्या में x % की वृद्धि की जाए, तो क्षेत्रफल में (2x + x²/100) की वृद्धि होती है.

3. यदि गोला की त्रिज्या में x % की कमी की जाए, तो क्षेत्रफल में (2x – x²/100) की कमी होती है.

4. गोला की त्रिज्या में x % की वृद्धि की जाए, तो आयतन में (3x + 3x²/100 + x³ / (100)³) की वृद्धि होती है.

5. यदि गोला की त्रिज्या में x % की कमी की जाए, तो आयतन में (3x + 3x²/(100)² – 3x² / 100) की कमी होती है.

6. अर्द्धगोलीय शेल का आयतन = 2/3 π ( R³ – r³ )

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• शंकु का आयतन एवं उदाहरण
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• क्लास 10th त्रिकोंमिति फार्मूला
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महत्वपूर्ण तथ्य

गोलाकार सतह के केंद्र से वक्र धरातल के प्रत्येक विन्दु की दूरी समान होती है जिसे त्रिज्या के नाम से जाना जाता है तथा अर्ध गोले की एक सतह समतल वृत्ताकार तो दूसरी सतह वक्र होती है.

• गोले का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल ही गोले के सम्पूर्ण क्षेत्रफल होता है.
• किसी गोले के सतह पर स्थित एक बिंदु से दुसरे बिंदु पर जाने वाली रेखाखंड की लम्बाई व्यास कहलाता है.
• गोले का सभी बिंदु इसके केंद्र से सामान दूरी पर होते हैं.

इन्ही तथ्यों से सम्बंधित सभी Gola ka Formula यहाँ उपलब्ध है जो गणित की तैयारी में मदद करता है.

पूछे जाने वाले सामन्य प्रश्न: FAQs

Q. गोला का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल क्या होता है?

यदि π और r का मान दिया हुआ हो, तो इस 4πr² फार्मूला का प्रयोग कर गोले का वक्रीय पृष्ठ का क्षेत्रफल सकते है.

Q. गोले का आयतन का सूत्र क्या है?

गोले के आयतन का सूत्र 4/3 πr³ होता है. जहाँ π का मान 22/7 या 3.14 और r त्रिज्या होता है.

Q. ठोस गोले का आयतन क्या है?

ठोस गोले का आयतन (4/3)πR³ होता है.

Q. अर्ध गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?

अर्ध गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 πr² होता है. जहाँ r अर्धगोला का त्रिज्या है.

Q. अर्धगोला का आयतन सूत्र क्या है?

अर्धगोला का आयतन सूत्र  2/3 πr³ होता है. जहाँ π का मान 22/7 या 3.14 और r त्रिज्या है.