सम्मिश्र संख्या फार्मूला, गुण एवं परिभाषा | Complex Number in Hindi

Complex Number in Hindi

गणित विषय, फार्मूला का एक समूह है जो गणितीय प्रश्नों को हल करने में मदद करता है. Complex Number in Hindi, प्रतियोगिता एग्जाम एवं क्लास 11 का सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है. क्योंकि, यह वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं का सम्मिलित रूप है. अर्थात, समिश्र संख्या के दो पार्ट्स होते है, जिसमे पहला पार्ट वास्तविक और दूसरा पार्ट काल्पनिक संख्या होता है.

समिश्र संख्या से सम्बंधित सभी महत्वपूर्ण फार्मूला एवं अनुप्रयोग का नियम यहाँ प्रदर्शित है जो इसे सरल बनाने के उदेश्य से आवश्यक है. वास्तविक और काल्पनिक संख्या के सहयोग से बने समिश्र संख्या का प्रयोग एवं परिभाषा आसान शब्दों में यहाँ पढ़े.

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समिश्र संख्या क्या है | What is Complex Number in Hindi

सामान्यतः सम्मिश्र संख्या एक वास्तविक संख्या और एक काल्पनिक संख्या का संयोजन है. अर्थात, किसी वास्तविक संख्या में एक काल्पनिक भाग जोड़ने से समिश्र संख्या बनती है. सम्मिश्र संख्या a+ib के रूप में होती है. जहाँ a वास्तविक संख्या और ib काल्पनिक संख्या होती है.

उदाहरण:

  • 5 + j
  • -23 – 3i
  • √a + √bi

काल्पनिक संख्या | Imaginary Number in Hindi

मूल रूप से, काल्पनिक संख्या एक जटिल संख्या है, जिसे काल्पनिक इकाई i द्वारा वास्तविक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. अर्थात, जो संख्याएँ वास्तविक नहीं होती हैं वे काल्पनिक संख्याएँ हैं. किसी काल्पनिक संख्या का वर्ग करने पर अगर वह ऋणात्मक परिणाम देती है, तो उसे काल्पनिक संख्या के रूप में परिभाषित करते है. इसे Im ( ) द्वारा सूचित किया जाता है. जैसे:- √-5, √-7, √-13 आदि.

  • √-1 को ग्रीक अक्षर i यानि lota से व्यक्त किया जाता है.
  • √-2 = √2i
  • √-4 = 2i

काल्पनिक संख्या i का घाट

  • i0 = 1
  • और i1 = i
  • i2 = -1
  • या i3 = -i
  • i4 = i

वास्तविक संख्या | Real Number in Hindi

कोई भी संख्या जो किसी संख्या प्रणाली का भाग हो, जैसे; धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, भिन्न आदि वास्तविक संख्याएँ कहलाती है. जैसे:-
-4, 0, 1/17, 2.8, √5 आदि.

सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी, मापांक एवं कोणांक

संयुग्मी: सम्मिश्र संख्या Z = a+ib हो, तो Z के संयुग्मी को Z_ से सूचित किया जाता है.

मापांक: सम्मिश्र संख्या Z = a+ib हो, तो Z के मापांक को |Z| द्वारा सूचित करते है.

जहाँ |z| = √(x2+y2)

कोणांक: सम्मिश्र संख्या Z = a+ib हो, तो Z के कोणांक को arg (Z) या amp (Z) लिखा जाता है.

जहाँ, arg Z = tan-1 (y/x)

वास्तविक और काल्पनिक संख्या में अंतर

सम्मिश्र संख्यावास्तविक संख्याकाल्पनिक संख्या
a+ibab
3 + 2i32
550i
-2i0-2i
a + αiaα

सम्मिश्र संख्या फार्मूला | Complex Number Formula in Hindi

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)   
(a + ib) – (c + id) = (a-c) + i(b-d)   
(a + ib) x (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)
(a + ib) / (c + id) = (ac +bd)/ (c2 + d2) +i (bc – ad) / (c2 + d2)  
i-1 = 1 / i × i/i  = i / i2 = i / -1  = -i 
(z1 + z2)2 = (z1)2 + (z2)2 + 2 × z1 × z2 
(z1 – z2)2 = (z1)2 + (z2)2 – 2 × z1 × z2  
(z1)2 – (z2)2 = (z1 + z2) (z1 – z2)  
(z1 + z2)3 = (z1)3 + 3 × (z1)2 × z2 +3 × (z2)2 × z1 + (z2)3
(z1 – z2)3 = (z1)3 – 3 × (z1)2 × z2 +3 × (z2)2 × z1 – (z2)3

सम्मिश्र संख्या के महत्वपूर्ण तथ्य

  • सामान्यतः सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक विस्तारित रूप है.
  • i भी एक बीजीय संख्या है क्योंकि यह समीकरण x2 + 1 = 0 का एक मूल है.
  • गाऊसी पूर्णांक एक समिश्र संख्या है जिसमें वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं.
  • समिश्र संख्या को a + bi के रूप में दर्शाने को कार्तीय स्वरूप कहा जाता है.

Complex Number in Hindi क्लास 11 में प्रयोग होने वाली सबसे महत्वपूर्ण इकाई है. यह टॉपिक गणित का एक बड़ा हिस्सा कवर करती है. इसलिए, आवश्यक है कि इसके सभी बिंदुओं पर मजबूत पकड़ बनाए.

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अनुपात और समानुपात के सूत्ररोमन संख्याएँ
पूर्ण संख्या परिभाषा1 से 20 तक पहाड़े
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