Completing The Square Method – Tricks और उदाहरण

दो के बराबर घात वाले बहुपद समीकरण को द्विघात समीकरण कहते है. सामान्यतः Quadratic Equation का Standard form ax2 + bx + c = 0 होता है, जहाँ a, b and c वास्तिक है जिसमे a ≠ 0 होता है. द्विघात समीकरण का Roots कई तरीकों से find किया जा सकता है. लेकिन यहाँ Completing The Square Method Roots निकालना सीखेंगे.

क्लास 10th में Completing The Square Method से एग्जाम में प्रश्न पूछा जाता है. इसे बेहद ही सरल तरीके से ज्ञात कर सकते है. द्विघात समीकरण के मूल Factorization Method और Quadratic Formula से Find किया जाता है. लेकिन पूर्ण वर्ग विधि से क्लास 10th में प्रश्न पूछे जाते है.

इसलिए, आवश्यक है कि हल करने का Complete Rule ध्यान से Study करे. यहाँ दो Tricks के मदद से पूर्ण वर्ग विधि Find करना सीखेंगे जिसे आप कभी नही भूलेंगे.

Completing The Square Method या पूर्ण वर्ग विधि क्या है?

दरअसल Completing The Square द्विघात समीकरण का एक ऐसा Method है जिसमे समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप बदलकर हल किया जाता है. इस प्रकार के समीकरण का गुणनखण्ड नही निकाला जा सकता है.

इसलिए, उसे Quadratic Formula या Completing The Square Method से द्विघात समीकरण का मूल ज्ञात करते है.

हमेशा Quadratic Equation के Standard Form यानि ax2 + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग के रूप तोड़ा जाता है, ताकि मूल सरलता से ज्ञात कर सके.

पूर्ण वर्ग विधि कैसे बनाते है | How to Complete the Square?

Quadratic Equation के Standard form ax2 + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग के रूप में बदलकर निकालते है. इसे निचे दिए Steps के मदद से निकल सकते है.

Step 1: Write the equation in the form, such that c is on the right side. अर्थात, c को अलग करे.

x2 + bx = – c

Step 2: If a is not equal to 1, divide the complete equation by a such that the coefficient of x2 will be 1. x2 के गुणांक से समीकरण में भाग करे.

x2 + bx/a = – c/a

Step 3: Now add the square of half of the coefficient of term-x, (b/2a)2, on both sides. अर्थात, इसे पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करे

अर्थात, x2 + bx/a + (b/2a)2 = – c/a + (b/2a)2

Step 4: Factorize the left side of the equation as the square of the binomial term. यानि फार्मूला के अनुसार उसे arrange करे,

अर्थात, (x + b/2a)2 = – c/a + (b/2a)2

Step 5: Take the square root on both the sides. दोनों तरफ Under Root लें.

अर्थात, √ (x + b/2a)2 = √ [- c/a + (b/2a)2 ]

Step 6: Solve for variable x and find the roots. समीकरण को हल करने पर प्राप्त मान

x + (b/2a) = ± √(b2 – 4ac)/ 2a

इसके अलावे एक और Tricks का प्रयोग कर पूर्ण वर्ग विधि बनाना निचे सीखेंगे जो बेहद सरल और सटीक है.

Maths Formula for Class 10Trikonmity Table 0 to 360
BODMAS RuleAlgebraic Identities
माध्य, मध्यिका और बहुलकFrustum Formula

Trick 1. Completing The Square Method Class 10th Examples

Theory और Step से concept समझना थोड़ा मुश्किल है. इसलिए, इसे और असान बनाने के लिए कुछ उदाहरण लेते है और उसके साथ Question Solve करते है.

इससे आपका Concept बिल्कुल क्लियर हो जाएगा.

Q 1. 2x2 + 5x + 3 = 0 को पूर्ण वर्ग विधि से हल करे.

Solution: सबसे पहले x2 के पास उपलब्ध अंक से दोनों तरफ भाग करे.

x2 + 5x/2 + 3/2 = 0

Constant वाले term यानि 3/2 को = के बाद भेजे

x2 + 5x/2 = – 3/2

अगले step में x2 + 5x/2 को इस प्रकार तोड़े ताकि ये (a + b)2 के रूप में आए

x2 + 2. x. 5/4 + (5/4)2 = – 3/2 + (5/4)2

यहाँ इसे (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 के रूप में तोड़ा गया है. अब ये पूर्ण वर्ग के रूप में तैयार है, तो लिख सकते है.

(x + 5/4)2 = – 3/2 + 25/16

दायाँ पक्ष को हल करे

(x + 5/4)2 = 25 – 24 /16

=> (x + 5/4)2 = 1/16

दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर

√ (x + 5/4)2 = √ (1/16)

=> (x + 5/4) = ±1/4

दोनों मानों को अलग-अलग लेने पर

एक बार (+) चिह्न लेने पर

(x + 5/4) = +1/4

x =1/4 – 5/4

=> x = – 1

एक बार ( – ) चिह्न लेने पर

अर्थात, (x + 5/4) = – 1/4

=> x = – 1/4 – 5/4

x = – 6/4

=> x = – 3/2

अर्थात, x = – 1, – 3/2 Answer

Trick 2. Completing The Square Method Class 10th Examples

इस Tricks के प्रयोग से पूर्ण वर्ग विधि बनाना ऊपर वाले example से भी असान है. इस Method का प्रयोग Completing The Square Method in Hindi के लिए सबसे अधिक होता है. और विद्यार्थी इसे जल्द समझ भी जाते है. इस Method पर एक Example लेते है और समझने का प्रयास करते है.

Q 2. 2x2 – 7x + 3 = 0 को पूर्ण वर्ग विधि से हल करें?

Solution: सबसे पहले x2 के पास उपलब्ध अंक से दोनों तरफ भाग करे

x2 – 7x/2 + 3/2 = 0

अचर पद को दायीं ओर ले जाने पर

x– 7x/2 = – 3/2

दोनों पक्षों में x के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने पर   

x– 7x/2 + (7/4)2 = – 3/2 + (7/4)2

(x – 7/4)2 = –3/2 + 49/16, हल करने पर

(x – 7/4)2 = 25/16  

दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर

√(x – 7/4)2 = √(25/16)    

x – 7/4 = ±5/4

दोनों चिन्हों को अलग-अलग हल करे.

एक बार (+) चिह्न लेने पर

x – 7/4 = +5/4                       

x = 5/4 + 7/4                          

x = (5 + 7)/4 = 12/4                          

x = 3

एक बार (–) चिह्न लेने पर

x – 7/4 = –5/4 

x = –5/4 + 7/4

x = (–5 + 7)/4 = 2/4

x = 1/2

अर्थात, x के दो मान इस प्रकार है x = 3, 1/2 Answer

विडियो के माध्यम से भी पूर्ण वर्ग विधि बनाना सिख सकते है.

Practice Questions

Methods और Concept को समझने के लिए Practice करना सबसे महत्वपूर्ण कार्य है. क्योंकि, Practice ही विद्यार्थी को विशेषज्ञ बनाता है. यहाँ कुछ Questions दिए गए है, जिसे Completing The Square Method से solve कर अपना कांसेप्ट क्लियर कर सकते है.

x2 – 6𝑥 + 9 = 0
𝑥– 5𝑥 – 24 = 0
4x – 4𝑥 + 17 = 0
𝑥2 + 4𝑥 – 7 = 0
10x2 + 7x − 12 = 0
15 − 10x – x2
3x2 − 27x + 9
9𝑥2 – 12𝑥 + 13 = 0
24 + 12x − 2x2
4𝑥2 – 4𝑥 + 5 = 0
2 + 5x − 6 = 0
x2 – 8𝑥 + 15 = 0
4𝑥2 – 8𝑥 + 1 = 0
2x2 + 8x − 25 = 0
10 + 6x – x2 = 0

उम्मीद करता हूँ कि आप पूर्ण वर्ग विधि बनाना सिख गए होंगे. यदि अभी कोई संदेह शेष हो, तो कृपया हमें कमेंट करे. हम आपके concept को क्लियर कराने की पूरी कोशिश करेंगे.

गणितीय महत्वपूर्ण फार्मूला

निर्देशांक ज्यामिति फार्मूलाक्षेत्रमिति के सभी फार्मूला
गोला एवं अर्द्ध गोला का फार्मूलासमानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफलKshetrafal Formula
त्रिभुज का क्षेत्रफलशंकु का क्षेत्रफल

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