दो के बराबर घात वाले बहुपद समीकरण को द्विघात समीकरण कहते है. सामान्यतः पूर्ण वर्ग विधि का Standard form ax2 + bx + c = 0 होता है, जहाँ a, b and c वास्तिक है जिसमे a ≠ 0 होता है. द्विघात समीकरण का Roots कई तरीकों से find किया जा सकता है. लेकिन यहाँ पूर्ण वर्ग विधि से मान निकालना सीखेंगे.
क्लास 10th में Completing The Square Method से एग्जाम में प्रश्न पूछा जाता है. इसे बेहद ही सरल तरीके से ज्ञात कर सकते है. द्विघात समीकरण के मूल Factorization Method और Quadratic Formula से Find किया जाता है. लेकिन पूर्ण वर्ग विधि से क्लास 10th में प्रश्न पूछे जाते है.
इसलिए, आवश्यक है कि हल करने का Complete Rule ध्यान से Study करे. यहाँ दो Tricks के मदद से पूर्ण वर्ग विधि Find करना सीखेंगे जिसे आप कभी नही भूलेंगे.
क्लास 10 पूर्ण वर्ग विधि क्या है?
दरअसल Completing The Square द्विघात समीकरण का एक ऐसा Method है जिसमे समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप बदलकर हल किया जाता है. इस प्रकार के समीकरण का गुणनखण्ड नही निकाला जा सकता है.
इसलिए, उसे Quadratic Formula या Completing The Square Method से द्विघात समीकरण का मूल ज्ञात करते है.
हमेशा Quadratic Equation के Standard Form यानि ax2 + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग के रूप तोड़ा जाता है, ताकि मूल सरलता से ज्ञात कर सके.
पूर्ण वर्ग विधि से हल करने की प्रक्रिया
द्विघात समीकरण के Standard form ax2 + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग के रूप में बदलकर निकालते है. इसे निचे दिए Steps के मदद से निकल सकते है.
Step 1: Write the equation in the form, such that c is on the right side. अर्थात, c को अलग करे.
x2 + bx = – c
Step 2: If a is not equal to 1, divide the complete equation by a such that the coefficient of x2 will be 1. x2 के गुणांक से समीकरण में भाग करे.
x2 + bx/a = – c/a
Step 3: Now add the square of half of the coefficient of term-x, (b/2a)2, on both sides. अर्थात, इसे पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करे
अर्थात, x2 + bx/a + (b/2a)2 = – c/a + (b/2a)2
Step 4: Factorize the left side of the equation as the square of the binomial term. यानि फार्मूला के अनुसार उसे arrange करे,
अर्थात, (x + b/2a)2 = – c/a + (b/2a)2
Step 5: Take the square root on both the sides. दोनों तरफ Under Root लें.
अर्थात, √ (x + b/2a)2 = √ [- c/a + (b/2a)2 ]
Step 6: Solve for variable x and find the roots. समीकरण को हल करने पर प्राप्त मान
x + (b/2a) = ± √(b2 – 4ac)/ 2a
इसके अलावे एक और Tricks का प्रयोग कर पूर्ण वर्ग विधि बनाना निचे सीखेंगे जो बेहद सरल और सटीक है.
| Maths Formula for Class 10 | Trikonmity Table 0 to 360 |
| BODMAS Rule | Algebraic Identities |
| माध्य, मध्यिका और बहुलक | Frustum Formula |
Trick 1. पूर्ण वर्ग विधि का हल
Theory और Step से concept समझना थोड़ा मुश्किल है. इसलिए, इसे और असान बनाने के लिए कुछ उदाहरण लेते है और उसके साथ Question Solve करते है.
इससे आपका Concept बिल्कुल क्लियर हो जाएगा.
Q 1. 2x2 + 5x + 3 = 0 को पूर्ण वर्ग विधि से हल करे.
Solution: सबसे पहले x2 के पास उपलब्ध अंक से दोनों तरफ भाग करे.
x2 + 5x/2 + 3/2 = 0
Constant वाले term यानि 3/2 को = के बाद भेजे
x2 + 5x/2 = – 3/2
अगले step में x2 + 5x/2 को इस प्रकार तोड़े ताकि ये (a + b)2 के रूप में आए
x2 + 2. x. 5/4 + (5/4)2 = – 3/2 + (5/4)2
यहाँ इसे (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 के रूप में तोड़ा गया है. अब ये पूर्ण वर्ग के रूप में तैयार है, तो लिख सकते है.
(x + 5/4)2 = – 3/2 + 25/16
दायाँ पक्ष को हल करे
(x + 5/4)2 = 25 – 24 /16
=> (x + 5/4)2 = 1/16
दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर
√ (x + 5/4)2 = √ (1/16)
=> (x + 5/4) = ±1/4
दोनों मानों को अलग-अलग लेने पर
एक बार (+) चिह्न लेने पर
(x + 5/4) = +1/4
x =1/4 – 5/4
=> x = – 1
एक बार ( – ) चिह्न लेने पर
अर्थात, (x + 5/4) = – 1/4
=> x = – 1/4 – 5/4
x = – 6/4
=> x = – 3/2
अर्थात, x = – 1, – 3/2 Answer
Trick 2. पूर्ण वर्ग बनाना सीखे
इस Tricks के प्रयोग से पूर्ण वर्ग विधि बनाना ऊपर वाले example से भी असान है. इस Method का प्रयोग Completing The Square Method in Hindi के लिए सबसे अधिक होता है. और विद्यार्थी इसे जल्द समझ भी जाते है. इस Method पर एक Example लेते है और समझने का प्रयास करते है.
Q 2. 2x2 – 7x + 3 = 0 को पूर्ण वर्ग विधि से हल करें?
Solution: सबसे पहले x2 के पास उपलब्ध अंक से दोनों तरफ भाग करे
x2 – 7x/2 + 3/2 = 0
अचर पद को दायीं ओर ले जाने पर
x2 – 7x/2 = – 3/2
दोनों पक्षों में x के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने पर
x2 – 7x/2 + (7/4)2 = – 3/2 + (7/4)2
(x – 7/4)2 = –3/2 + 49/16, हल करने पर
(x – 7/4)2 = 25/16
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर
√(x – 7/4)2 = √(25/16)
x – 7/4 = ±5/4
दोनों चिन्हों को अलग-अलग हल करे.
एक बार (+) चिह्न लेने पर
x – 7/4 = +5/4
x = 5/4 + 7/4
x = (5 + 7)/4 = 12/4
x = 3
एक बार (–) चिह्न लेने पर
x – 7/4 = –5/4
x = –5/4 + 7/4
x = (–5 + 7)/4 = 2/4
x = 1/2
अर्थात, x के दो मान इस प्रकार है x = 3, 1/2 Answer
विडियो के माध्यम से भी पूर्ण वर्ग विधि बनाना सिख सकते है.
Practice Questions
Methods और Concept को समझने के लिए Practice करना सबसे महत्वपूर्ण कार्य है. क्योंकि, Practice ही विद्यार्थी को विशेषज्ञ बनाता है. यहाँ कुछ Questions दिए गए है, जिसे Completing The Square Method से solve कर अपना कांसेप्ट क्लियर कर सकते है.
| x2 – 6𝑥 + 9 = 0 |
| 𝑥2 – 5𝑥 – 24 = 0 |
| 4x 2 – 4𝑥 + 17 = 0 |
| 𝑥2 + 4𝑥 – 7 = 0 |
| 10x2 + 7x − 12 = 0 |
| 15 − 10x – x2 |
| 3x2 − 27x + 9 |
| 9𝑥2 – 12𝑥 + 13 = 0 |
| 24 + 12x − 2x2 |
| 4𝑥2 – 4𝑥 + 5 = 0 |
| x 2 + 5x − 6 = 0 |
| x2 – 8𝑥 + 15 = 0 |
| 4𝑥2 – 8𝑥 + 1 = 0 |
| 2x2 + 8x − 25 = 0 |
| 10 + 6x – x2 = 0 |
उम्मीद करता हूँ कि आप पूर्ण वर्ग विधि बनाना सिख गए होंगे. यदि अभी कोई संदेह शेष हो, तो कृपया हमें कमेंट करे. हम आपके concept को क्लियर कराने की पूरी कोशिश करेंगे.
गणितीय महत्वपूर्ण फार्मूला
पूछे जाने वाला समान्य प्रश्न FAQs
Q. पूर्ण वर्ग संख्या कैसे निकालते हैं?
पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, जिस संख्या का पूर्ण संख्या निकालना है तो उसी से गुणा करना होगा.
Q. वर्ग का सूत्र क्या होता है?
वर का सूत्र भुजा x भुजा अर्थात a x a = a2 होता है.