क्लास 12th में कैलकुलस गणित का सबसे बड़ा टॉपिक है. यह गणित का लगभग 44% भाग कवर करता है जिसमे अवकलन, समाकलन, संतता, अवकलज समीकरण आदि जैसे टॉपिक शामिल होते है. इनमें सबसे बड़ा टॉपिक Integration यानि Samakalan है जो बेहद ही Interesting है. इसका अध्ययन समाकलन फार्मूला के बिना करना या प्रश्न हल करना नामुमकिन है.
दरअसल, समाकलन ( Integration ) अवकलन ( Differentiation ) का व्यक्रम प्रक्रिया है. इसलिए, समाकलन वाले प्रशों को हल करने के लिए फार्मूला के साथ-साथ अवकलन की भी जानकारी होना अनिवार्य होता है. इंटीग्रेशन फॉर्मूला वह प्रक्रिया है जिसके मदद से किसी भी प्रकार के समाकलन सम्बंधित प्रशों को सरलता से हल किया जा सकता है.
यहाँ Basic से Advance तक के सभी समाकलन फार्मूला को प्रदर्शित किया गया है जो प्रशों को हल करने में सबसे अधिक मदद करते है.
| क्लास 12th सारणिक फार्मूला | क्षेत्रमिति के सभी फार्मूला |
| Inverse त्रिकोंमिति | प्रायिकता फार्मूला |
| क्लास 12 मैट्रिक्स फार्मूला | Limit / संतता फार्मूला |
| अवकलन फार्मूला | शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल |
समाकलन के कुछ संकेत एवं पद | SamaKalan Formula
| ∫ f (x) dx | f (x) का x के सापेक्ष समाकल |
| ∫ f (x) dx में f (x) | समाकल्य |
| ∫ f (x) dx में x | समाकल का चर |
| समाकलन | समाकल ज्ञात करने की विधि |
| f (x) का समाकल | फलन F (x) ताकि F’ (x) = f (x) |
| समाकलन संक्रिया | समाकलन निकालने की प्रक्रिया |
समाकलन किसे कहते है?
सामान्यतः समाकलन अवकलन का व्युत्क्रम प्रक्रिया है जिसे व्युत्क्रम अवकलन भी कहा जाता है. यह दरअसल अवकलन फलन के विपरीत कार्य करने की एक प्रक्रिया है जिसे समाकलन कहते है.
इस प्रकार किसी फलन f (x) का समाकलन निकालने का अर्थ है एक ऐसा फलन f (x) निकलना जिसका अवकलज f (x) है. इसके सम्बन्ध में कुछ विशेष तथ्य इस प्रकार है.
समाकल्य: जिस फलन का समाकल ज्ञात करना हो, उसे समाकल्य कहते है.
समाकलन: किसी फलन का समाकल ज्ञात करने की विधि को समाकलन कहते है.
समाकल: वह फलन जिसका अवकलज समाकल्य हो, समाकल्य का समाकल कहलाता है.
समाकलन फार्मूला लिस्ट
कैलकुलस में Integration सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है इसलिए, यह हमारा दायित्व है कि हम इसके विषय में विशेष जानकारी प्राप्त करे जिससे प्रश्न हल करना सरल हो. यहाँ सभी फार्मूला का लिस्ट नियमबद्ध तरीके से प्रदान किया गया है जो क्लास 12 के लिए आवश्यक है.
सामान्यतः समाकलन को चार प्रमुख भागों में वर्गीकृत किया गया है इसलिए, वर्गीकरण के अनुसार इंटीग्रेशन फॉर्मूला का अध्ययन करेंगे.
- रूपान्तर विधि ( method of Transformation )
- प्रतिस्थापन विधि ( Method of Substitution )
- खंडशः विधि ( Method of Parts )
- आंशिक भिन्न विधि ( Method of Partial Fractions )
सामान्य समाकलन फार्मूला
| ∫ 1 dx | x + C |
| ∫ a dx | ax + C |
| ∫ xn dx | ((xn+1)/(n+1)) + C |
| ∫ sin x dx | – cos x + C |
| ∫ cos x dx | sin x + C |
| ∫ sec2x dx | tan x + C |
| ∫ cosec2x dx | – cot x + C |
| ∫ sec x (tan x) dx | sec x + C |
| ∫ cosec x ( cot x) dx | – cosec x + C |
| ∫ (1/x) dx | log |x| + C |
| ∫ ex dx | ex+ C |
| ∫ ax dx | (ax / log a) + C |
| ∫ tan x dx | log | sec x | + C |
| ∫ cot x dx | log | sin x | + C |
| ∫ sec x dx | log | sec x + tan x | + C |
| ∫ cosec x dx | log | cosec x – cot x | + C |
| ∫ 1 / √ ( 1 – x2 ) dx | sin – 1 x + C |
| ∫ 1 / √ ( 1 – x2 ) dx | cos – 1 x + C |
| ∫ 1 / √ ( 1 + x2 ) dx | tan – 1 x + C |
| ∫ 1 / √ ( 1 + x2 ) dx | cot – 1 x + C |
स्पेशल समाकलन फार्मूला
खंडशः विधि फार्मूला (Method of Parts)
सामान्यतः खंडशः विधि से समाकलन निकालने के लिए u और v का सही चुनाव करना है. इसलिए, इसके सम्बन्ध में एक फार्मूला काम करता है जिसे ILATE के नाम से प्रदर्शित करते है. इसका अर्थ निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है.
- I = प्रतिलोम फलन ( Inverse Trigonometry Function )
- L = लघुगुणकीय फलन ( Logarithm Function )
- A = बीजीय फलन ( Algebraic Function )
- T = त्रिकोणमितिय फलन ( Trigonometry Function )
- E = घातीय फलन ( Exponential Function )
आंशिक भिन्न विधि फार्मूला (Partial Fractions)
समाकलन का फार्मूला pdf में डाउनलोड करे
All Integrals Formula List PDF
समाकलन से सम्बंधित महत्वपूर्ण फार्मूला
Integration में सामान्यतः कुछ ऐसे भी फार्मूला है जिनका प्रयोग मुख्य रूप से होता है. समाकलन प्रक्रिया होने के बाद या पहले ऐसे फार्मूला का प्रयोग होता है जो इस प्रकार है.
| sin2 x | ( 1 – cos 2x ) / 2 |
| cos2 x | ( 1 + cos 2x ) / 2 |
| sin3 x | ( 3 sin x – sin 3x ) / 4 |
| cos3 x | ( 3 cos x + cos 3x ) / 4 |
| tan2 x | sec2 x – 1 |
| sin2 x + cos2 x | 1 |
| tan2 x | cosec2 x – 1 |
| 2sin A . sin B | cos(A – B) + cos(A + B) |
| 2sin A . cos B | sin(A + B) + sin(A – B) |
| 2cos A . sin B | sin(A + B) – sin(A – B) |
| 2cos A . cos B | cos(A + B) + cos(A – B) |
| Sin 3x | 3sin x – 4sin3 x |
| Cos 3x | 4cos3 x – 3cos x |
| Tan 3x | ( 3tan x – tan3 x ) / ( 1 – 3tan2 x ) |
| sin 2x | 2sin x • cos x = 2tan x / (1+tan2 x ) |
| cos 2x | cos2 x – sin2 x = (1- tan2 x ) / ( 1+tan2 x ) |
| cos 2x | 2cos2 x −1 = 1 – 2sin2 x |
| tan 2x | ( 2tan x ) / (1−tan2 x ) |
| sec 2x | sec2 x / (2-sec2 x ) |
| Cosec 2x | (sec x . Cosec x ) / 2 |
समाकलन में प्रयोग की जाने वाली लगभग सभी Samalan Formula का लिस्ट यहाँ उपलब्ध है. इस फार्मूला के अध्ययन के बाद समाकलन से सम्बंधित किसी अन्य फार्मूला की आवश्यकता नही होगी. अतः आप निश्चिन्त होकर इंटीग्रेशन वाले प्रश्न को हल सरलता से कर सकते है.
गणित से सम्बंधित फार्मूला
| शंकु का आयतन | समानान्तर श्रेढ़ी फार्मूला |
| सर्वसमिका फार्मूला | लघुगणक फार्मूला |
| सम्मिश्र संख्या फार्मूला | ज्यामिति फार्मूला |
| शंकु का क्षेत्रफल | त्रिभुज का क्षेत्रफल |
| घनाभ का आयतन | निर्देशांक ज्यामिति फार्मूला |
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