गणितीय क्षेत्रमिति फार्मूला में गोला और अर्द्धगोला फार्मूला का योगदान सर्वाधिक रहा है क्योंकि, यह Class 7 लेकर Master Degree तक प्रयोग किया जाता है. इसलिए, Surface Area of a Sphere का अध्ययन सभी वर्ग के लिए आवश्यक है.
क्षेत्रमितिय प्रशों को हल करने के लिए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल के फार्मूला सबसे सहायक सिद्ध होता है. रचनात्मक प्रयोग के अनुसार गोला और अर्द्धगोला को कई प्रकार से प्रशों को हल करने के लिए किया जाता है. इसका फार्मूला भिन्न-भिन्न होता है और प्रयोग भी प्रश्न के अनुसार भिन्न-भिन्न होता है.
इसलिए, यहाँ स्फीयर फार्मूला, परिभाषा, प्रयोग और उदाहरण का अध्ययन विभिन्न प्रकार से करेंगे ताकि प्रशों को Easily Solve कर सके.
गोले का फार्मूला एवं परिभाषा
गोला एक ठोस आकृति है जो एक वृताकार परत को इसके किसी भी व्यास के अनुदिश घुमाने से प्राप्त होता है, वह गोला कहलाता है.
फार्मूला के सम्बन्ध में, गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल यह सुनिश्चित करता है कि गोले का बाहरी सतह कितना जगह घेर रहा है. अर्थात, पृष्ठीय क्षेत्रफल के मदद से बताया जा सकता है कि गोले को पेंट कराने, तार लगाने आदि की मात्रा कितनी है.
दुसरें शब्दों में,
गोले की पृष्ठीय क्षेत्रफल को त्रि-आयामी आकृति में इसकी बाहरी सतह द्वारा कवर किए गए क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें एक वृत्त एक गोले के आकार में होता है. सामान्यतः गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र pi (π) के रूप में निरुपित होता है.
Note: एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके चारों ओर के संपूर्ण फलक के क्षेत्रफल के बराबर होता है
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
जहाँ “r” त्रिज्या है.
Note: वृत्त एक 2-आयामी आकृति है जबकि गोला 3-आयामी आकृति है. इसलिए, दोनों का क्षेत्रफल भिन्न-भिन्न होते है.
वृत्त और गोला में अंतर
| Circle (वृत्त) | Sphere (गोला) |
| वृत्त एक 2-dimensional आकृति है. | गोला एक 3-dimensional आकृति है. |
| Area of Circle = π r2 | Surface Area of a Sphere = 4 π r2 |
| वृत्त का आयतन नही होता है. | गोला का आयतन = 4/3π r3 |
| वृत्त का व्यास = 2 r | गोला का व्यास = 2 r |
| वृत्त का परिमाप = 2 π r | गोला का परिमाप नही होता है. |
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र गोले की त्रिज्या पर निर्भर करता है. यदि बने गोले की त्रिज्या r है और गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, तो गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न होता है.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
Sphere यानि गोले से सम्बंधित महत्वपूर्ण फार्मूला
गोला का आयतन = 4/3 πr3
गोलीय शेल के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 4/3 π ( R2 – r2 )
घन में सबसे बड़े गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल = πa2
गोला में सबसे बड़े घन का पृष्ठ क्षेत्रफल = 8R2
ऐसे फार्मूला का प्रयोग सामान्यतः प्रश्न हल करने के लिए किया जाता है.
| वर्ग का परिभाषा एवं क्षेत्रफल | घन का क्षेत्रफल |
| आयत का विशेष क्षेत्रफल | समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |
| समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल | समचतुर्भुज का क्षेत्रफल |
| त्रिभुज का क्षेत्रफल | शंकु का क्षेत्रफल |
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे निकालें?
मुख्य रूप से, गोले का सतह का क्षेत्र एक गोले के अंदर व्याप्त स्थान है. अर्थात, पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना फार्मूला के प्रयोग से ही की जा सकती है. जो इस प्रकार है.
Step 1: सबसे पहले गोले की त्रिज्या Find करे.
Step 2: त्रिज्या का स्क्वायर करे, अर्थात, r × r
Step 3: r2 को 4 से गुणा करे.
Step 4: उसके बाद पृष्ठीय क्षेत्रफल पर Arrange करे. यानि 4πr²
Step 5: π का मान स्थिति के अनुसार 22/7 या 3.14 रखे.
Step 6: अंत में, वर्ग इकाई जोड़ना न भूले.
स्फीयर फार्मूला का उदाहरण
Ex 1: यदि गोले का व्यास 8 cm है तो गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ?
Solution: गोले का व्यास = 8 cm
इसलिए, त्रिज्या = 4
फार्मूला से = 4πr²
= (4×22×16)/7
= 201.14 cm² Ans.
Ex 2: एक फुटबॉल को पेंट कराने में लगे कुल लागत ज्ञात करे. यदि फुटबॉल की त्रिज्या 7 सेमी हो और फुटबॉल की पेंटिंग की लागत 2/वर्ग सेमी है? π = 22/7 लें
Solution: दिया है, फुटबॉल कीत्रिज्या = 7 cm, तो
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= (4×22×7×7)/7
= 4×22×7 => 616 cm²
अब, फुटबॉल को पेंट कराने में लगे लागत = 616 × 2
= 1232 रु. Ans
Ex 2:
यदि किसी गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 cm² है तो उस गोले की त्रिज्या ज्ञात करे ?
Solution: गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616 cm²
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
=> 4πr² = 616
=> 4×22/7×r² = 616
r² = (616 ×7)/(4×22)
=> (28 × 7)/4
=> 196/4
r²= 49
r = √49, अर्थात, r = 7 Ans.
पूछे जाने वाले प्रश्न: FAQs
Q. गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
उत्तर: गोले की पृष्ठीय क्षेत्रफल एक त्रि-आयामी आकृति द्वारा कवर किए गए क्षेत्र है, जिसे ज्ञात करने के लिए 4πr² का प्रयोग किया जाता है.
Q.गोले का क्षेत्रफल का सूत्र क्या होता है?
उत्तर: गोला का क्षेत्रफल 4πr² वर्ग इकाई होता है.
Q. अर्द्धगोला का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल क्या होता है?
उत्तर: अर्द्ध गोला के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 πr2 होता है.
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